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CTF现代密码
2020-11-17 14:52:43

本文涉及知识点实操练习:CTF从入门到实践-CTF一站式学习平台-合天网安实验室

前言:

在CTF的密码题目中,RSA以其加密算法之多且应用之广泛,所以在比赛中是最常见的题目。学习密码学并不难,但首先得打好数学基础,并在攻破密码的学习之路上持之以恒。今天我们就来打开RSA加密世界的第一扇门<数论>。

数论基础:

1.素数

2.公约数与公倍数

3.欧拉函数

4.欧几里得算法

5.扩展欧几里得算法

6.同余

7.模运算

8.逆

9.中国剩余定理

10.逆元与同余式定理1605594573_5fb36dcd2f2012f69387d.jpg!small

1.素数:

定义:

一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除(除0以外)的数称之为素数(质数);否则称为合数。

如:

3×4 = 12,不是素数。

11除了等于11×1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以11是一个素数。

关于素数有以下事实:

(1)如果p是素数,且p | ab(表示ab能被p整除),则p | a或 p | b ,即p 至少整除a与b中的一个。

(2)(算术基本定理)每个整数n ≥ 2 ,均可分解成素数幂之积:

n =

若不计因数的顺序,这个分解式是唯一的。其中k ≥ 1,(1 i ≤ k)是两两互不相同的素数,(1 i ≤ k)是正整数。

(3)素数有无穷多个。

2.最大公约数与最小公倍数

定义1:

设,是两个整数。如果 d | 且 d | ,那么d就称为是和的公约数(或公因数)我们把和的公约数中最大的称为和的最大公约数,记作gcd(,).

当gcd(,) = 1时,我们称和是互素的。

定义2:

设,是两个整数。如果 | 且 | ,那么 就称为是和的公倍数。我们把和的正的公倍数中的最小的称为和的最小公倍数,记作。

3.欧拉函数

定义:

对正整数n,欧拉函数是小于或等于n 的数中与n 互质的数的个数,

记作:φ(n)。

例如:φ(8) = 4 ,因为1,3,5,7均与8互质。

性质:

(1) 若 n 为一素数 P,则:φ(P) = P-1

(2) 如果P是素数,k≥则:φ() = (P-1)×

例如 :求φ(16),由于 16 = 2×2×2×2,故φ(16) = (2-1) × = 8

(3) 若 n 为任意两个互质的 数a,b的积,则:φ(a*b) = φ(a) × φ(b)

例:求φ(40),由于40 = 5×8,所以φ(40) = φ(5) × φ(8) = 4×4 = 1

(4)对于整数n≥2,根据算术基本定理,n可以分解成唯一的形如 n=的分解式,则:φ(n)=n(1-)(1-)…(1-)

4.欧几里得(Euclid)算法

欧几里得算法又称为辗转相除法,用于求两个数的最大公约数。

原理:GCD(x,y) = GCD(y,x mod y) ,x>y

1.python代码实现1605594585_5fb36dd9767e2dcbb4162.jpg!small

2.python第三方库:

gmpy2.gcd(a,b) #求a,b的最大公约数1605594594_5fb36de2b4f8bf667e51c.png!small

Crypto.Util.number1605594604_5fb36dec89ad581815f8d.jpg!small

5.扩展欧几里得算法

定义:

在已知x,y时,求解一组解a,b,使得ax+by = GCD(x,y)

算法输入:两个正整数x和y

算法输出:x和y的最大公因数gcd(x,y)及满足等式ax+by=gcd(x,y)的整数a和b

python代码实现:

gmpy2库函数gcdext()1605594613_5fb36df50300571237a7f.png!small

6.同余

定义:

设a,b是整数,n≠0,如果n|(a-b),则称a和b模n同余,记为a≡b(mod n),整数n称为模数。

由于n|(a-b) 等价于 -n|(a-b),所以a≡b(mod n) 与 a≡b(mod (-n))等价。因此,一般我们总假定模数n≥1。

同余的性质

性质1:

  1. 自反性:a ≡ a (mod m)

  2. 对称性:a ≡ b (mod m),↔b ≡ c (mod m) ↔a ≡ c (mod m)

性质2:

(1)若a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m)

则:a±c ≡ b±d (mod m),ac ≡ bd (mod m)

特别的,对于一个整数e,都有a±e ≡ b±e (mod m),ae ≡ be (mod m)

(2)若a ≡ b (mod m),k>0,则ak ≡ bk (mod mk)

(3)若a ≡ b (mod m),d是a,b的公因数,则 ≡

(4)若a ≡ b (mod m),d|m,d>0,则: a ≡ b (mod d)

(5)若a ≡ b (mod m),则:

(6)(a×b)mod m = (a mod m ×b mod m )mod m

(7)mod m = mod m

7.模运算

定义:

a模n的运算给出了a对模n的余数,这种运算称为模运算。注意:模运算的结果是从0到n-1的一个整数。

模运算就像普通的运算一样,它是可交换、可结合、可分配的。而且,对每一个中间结果进行模m运算后再进行模m运算,其作用与先进行全部运算,然后再进行模m运算所得到的结果是一样的。例如:

(a+b)mod m=((a mod m)+(b mod m)) mod m

(a-b)mod m=((a mod m)-(b mod m)) mod m

(a×b)mod m=((a mod m) ×(b mod m)) mod m

(a×(b+c))mod m=((a×b) mod m+(a×c) mod m) mod m

这些性质对于密码学中的数学计算非常的重要,模运算可以将所有中间结果和最后结果限制在一个范围内。对于一个k位的模数n,任何、加、减、乘的中间结果将不会超过2k位长,这样避免了巨大的中间结果,使得计算机能够有效的处理数据。

如:计算(mod n),不要直接进行7次乘法和一个大数的模运算:

(a×a×a×a×a×a×a×a)mod n

相反,应该进行三次比较小的乘法和三次比较小的模化简:

这样就可以避免巨大的中间结果出现。

8.逆

定义:

若m≥1,gcd(a,m)=1,则存在c使得:

ca≡1(mod m)

我们把c称为a对模n的逆,记作,在模数已经指明的情况下,有时也记作。

在(a,m)=1时,我们可以使用扩展欧几里得算法来求a的逆元:,这是因为:扩展欧几里得算法可以找到整数x,y使得ax+my=1,这样

9.中国剩余定理

中国剩余定理(Chinese remainder theorem,CRT),又称孙子定理,最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》中,为一次同余方程组的起源。

定理(CRT):

设,……,是两两互素的正整数,M=…,

=(i=1,2,…,k),则同余方程组:1605594636_5fb36e0c2a745f264edf9.png!small

有唯一解: x=(mod M)

其中≡1(mod ),i=1,2,…,k

代码实现:1605594627_5fb36e0332c30da31b1e7.jpg!small

10.逆元与同余式定理

1模运算重要公式:

(a+b) % m = (a % m + b % m) % m

(a-b) % m = (a % m - b % m) % m

(a*b) % m = (a % m * b % m) % m

% m = % m

2威尔逊定理: (wilson’s theorem)

若p为素数,则:(p-1)!≡-1(mod p)⟹推导:(p-2)!≡1(mod p);

其逆定理同样成立。即:若(p-1)!≡-1(mod p) ,则p为素数

3二次探测定理:

定义:

若p是素数且 0<x<p,则 ≡1(mod p)仅有的两个解为:x=1或x=p-1

证明:由于≡1(mod p),所以:-1≡0(mod p),即(x+1)(x-1)≡0(mod p)

4费马小定理(Fermat):

若a为正整数,P是一质数,则:GCD(a,p)=1

那么,推论:

,推论:=a mod p

5欧拉定理(Euler):

若a与m互质,则:

后记:

数论基础的知识点比较杂乱繁多,这篇文章写的时候尽可能的去精简了,其中的定理及公式是必须要牢记于心的,后面的RSA加密算法的讲述中我会介绍定理及公式在RSA中的应用。

学习完数论基础后,后面我们将开始学习RSA的常见攻击算法及加密原理,以及各种工具的使用和python第三方库的函数调用。

本文首发于“合天智汇”公众号 作者:CNinja

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