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浅析RSA因子大小相近时分解因子攻击方法
2021-12-24 20:10:19

0x1.前言

提到这个你可能有些不屑一顾,如果pq非常相近的话直接用yafu就可以解出来,根本不需要我们去操心解,那写这篇文章的意义是什么,没错,之前的我也是这么想的,但实际上不是,事实证明,有些东西还是要明白一些原理才能属于你,不然有些题目稍稍变化你就不会了。

所以我今天就来好好记录一下这个问题。

0x2.正文

1.题目表现和yafu分解

首先pq的值相近是什么意思,在题目中,一般是指这样的意思:

from Crypto.Util.number import getPrime
import gmpy2
p = getPrime(512)
q = gmpy2.next_prime(p)
n=p*q
print('n =',n)

直接生成一个实例来演示吧:

n = 149508848441616715934297319023960757580837139746636486446093766820602595577720613880522359931376776640771560399865570788752926866918099448386204160338951577084579042581094657939545555751085950319193925075988080113525569558968885659546782419751524189916167947489803707492932640059831396220643698853028753007377

嗯,这种再常见不过了,我们一般用yafu可以直接分解出两个p和q:

1633002320_6155a350d12714fb9e801.png!small?1633002320971

然后之后的运算就非常简单了,问题在于,如果让我们自己用脚本算怎么算?

2.Python脚本分解

仔细想想这个问题,其实方法有好几种,这里一一列举一下。

2.1.简单思路

我们将他直接取平方根,然后取整之后的值一定在两个数之间,因为他们是通过next_prime连接的,所以可以断定他们之间一定没有质数,所以我们可以再直接通过一个next_prime得到较大的那个质数p,那么另一个质数q我们也就知道了。

脚本如下:

import gmpy2
n = 149508848441616715934297319023960757580837139746636486446093766820602595577720613880522359931376776640771560399865570788752926866918099448386204160338951577084579042581094657939545555751085950319193925075988080113525569558968885659546782419751524189916167947489803707492932640059831396220643698853028753007377
tmp=gmpy2.iroot(n,2)[0]
p=gmpy2.next_prime(tmp)
q=n//p
print("p=",p)
print("q=",q)

道理很简单,运行看看:

1633002338_6155a3628a50abea4e94f.png!small?1633002338547

可以发现和之前yafu计算的答案是一样的。

2.2.另一种解法

这种解法和上一种思路基本一致,也是利用求n的平方根来得到结果,那么区别在哪呢?首先,它能够一次性获得p和q两个解,另外它还有其他好处,我们先看方法:

import gmpy2

def factor(n):
a=gmpy2.iroot(n,2)[0]
while True:
a+=1
b2=a*a-n

if gmpy2.is_square(b2):
 b2=gmpy2.mpz(b2)
 b,xflag=gmpy2.iroot(b2,2)
 assert xflag
 return (a-b,a+b)

n = 149508848441616715934297319023960757580837139746636486446093766820602595577720613880522359931376776640771560399865570788752926866918099448386204160338951577084579042581094657939545555751085950319193925075988080113525569558968885659546782419751524189916167947489803707492932640059831396220643698853028753007377
p,q=factor(n)
print("p=",p)
print("q=",q)

先看看运行结果:

1633002363_6155a37b0d7bb227646e5.png!small?1633002363153

嗯,答案和之前一模一样,但或许此时你又有了些许疑问,这个脚本的原理是什么?又为什么这么写?又有什么好处?

这里一一讲解。

你可以看到,这个脚本和上一个脚本还是非常不同的,那么它到底用了什么原理呢?

如果你仔细观察可以看到,返回的p和q在分解函数中实际上分别是两个临时参数a-ba+b,这个又是咋来的呢?

a首先好说,a是n的整数平方根,这很好理解,但是b的产生是什么鬼?其中还有个令人费解的式子:b2=a*a-n,而b又是b2的平方根,这又是怎么回事?

首先列出一个式子:n=p*q,这个式子的正确性毫无疑问,代换到上面提到的p=a-b,q=a+b,那么就是n=(a-b)*(a+b),可以发现其实就是n=a*a-b*b,而b2不就是b的平方吗,所以有n=a*a-b2,这个式子如果成立的话,那么b2的产生式:b2=a*a-n也就没啥问题了。

所以我们发现,这个代码绕这么一大圈,其实就是在遍历a的前提下,求出所有可行的b,让其可以满足n=(a-b)*(a+b)这个式子,从而得到p和q。

而a的值在整个爆破过程中是从小到大的,相应的,b的值也是从小到大的,因为b*b=a*a-n,随着a的增大,b也会变大,而与之相应的,两个解:a-ba+b,之间的差距也会变大,而在最开始爆破的时候我们可以认为b=0,此时的a*a相当于在0~n之间求解的最‘中间’,这样我们就可以明白了,这个脚本正是从n的平方根这个‘中间值’开始,逐渐向两边扫描,直到得到解或者a-b==0,所以原理上它可以爆破出所有解

好的,原理我们明白了,我们也就知道,这个脚本其实是一个爆破脚本,它会尝试每一种可能性,直到得到解,所以这个脚本也只能在初始值和解相近的时候使用,如果从0开始爆破,那得爆破到猴年马月去。

所以为什么要这么做?

可以发现,这个脚本是爆破脚本,实际上并没有第一个脚本那样思路简单明了,那么它有什么用呢?

好处就在于,这个脚本是一个爆破脚本,所以它能爆破出所有可能的解,我们这道示例自然看不出什么,因为它只有一个解,当只有一个解时使用上面这两种脚本都能得到正确解。

同时,它也不会受到next_prime的限制,如果解不是质数它也会求出解。

这在一些稍微改变的题中是非常有用的。

下面我们用例子来说明这个解题方法。

3.题目变种

3.1.两组相近的因子时

这里引用的是最近的一场比赛绿城杯的比赛的一部分:【绿城杯】RSA2-PLUS

部分源码如下:

from Crypto.Util.number import *
import gmpy2
from flag import flag
assert flag[:5]==b'flag{'

m1 = bytes_to_long(flag[:20])
p = getPrime(512)
p1 = gmpy2.next_prime(p)
q = getPrime(512)
q1 = gmpy2.next_prime(q)
n1 = p*q*p1*q1
print('n1 =',n1)
e = 0x10001
c1 = pow(m1,e,n1)
print('c1 =',c1)

#n1 = 6348779979606280884589422188738902470575876294643492831465947360363568026280963989291591157710389629216109615274754718329987990551836115660879103234129921943824061416396264358110216047994331119920503431491509529604742468032906950984256964560405062345280120526771439940278606226153077959057882262745273394986607004406770035459301695806378598890589432538916219821477777021460189140081521779103226953544426441823244765828342973086422949017937701261348963541035128661464068769033772390320426795044617751909787914185985911277628404632533530390761257251552073493697518547350246993679844132297414094727147161169548160586911
#c1 = 6201882078995455673376327652982610102807874783073703018551044780440620679217833227711395689114659144506630609087600915116940111002026241056808189658969089532597757995423694966667948250438579639890580690392400661711864264184444018345499567505424672090632235109624193289954785503512742400960515331371813467034511130432319427185134018830006918682733848618201088649690422818940385123599468595766345668931882249779415788129316594083269412221804774856038796248038700275509397599351533280014908894068141056694660319816046357462684688942519849441237878018480036145051967731081582598773076490918572392784684372694103015244826

这里看起来和上面的题目类似,不同的是n由4个质数因子组成,其中两个成对近似相等,这时候当然也不能用第一个脚本那种思路了,因为不管几次根都不太可能next_prime正好等于真正的p和q,这时候我们也可以直接用yafu分解试试:

1633002383_6155a38fd9caf3b328866.png!small?1633002383922

一直运算就会没完没了,终止运算可以发现分解出了一个解,但是这个解其实并不是质数:

1633002393_6155a3995ca4f3fbcbdad.png!small?1633002393420

所以我们算出的这个解并不是n的4个因子其中一个,而是其中两个的乘积,而用n除以这个解得到的值则是另外两个因子的乘积,这对我们求出欧拉函数phi并没有什么用处。

那么我们怎么才能得到完整的4个因子的值呢?

先看一下这4个因子的构造吧:

p  = getPrime(512)
p1 = gmpy2.next_prime(p)
q = getPrime(512)
q1 = gmpy2.next_prime(q)

也就是说,p和p1相近,q和q1相近,我们并不知道yafu此时求出的是谁和谁的乘积,也许是p*q或者p1*q1,也许是p*q1或者q*p1,不管怎么样,我们发现一个十分有趣的特点,那就是在n1的平方根这个‘中间值’两侧有这两组非常相近的解:(p*q)*(p1*q1),(p*q1)*(q*p1),那么我们如果使用上面的第二个脚本那种方法,我们就可以在短时间内爆破出这两组非质数的解,因为我们知道它其实是从‘中间’开始往两边爆破的,一旦我们两组解都有了,求它们的公因数就能得到q或p的值,从而得到所有4个因子的值。

这里需要注意的是n的分解并不是只有这2组解,而是有共8组解,包括(p)*(p1*q*q1),(p*p1)*(q*q1)这样的解,只不过我们知道那两组解十分接近我们爆破的起始地点,这就造成了我们的利用。

有了这个思路我们就可以写出以下代码:

import gmpy2

def fermat_factorization(n):
factor_list = []
a = gmpy2.iroot(n,2)[0]
while True:
a += 1
b2 = a * a - n

if gmpy2.is_square(b2):
 b2 = gmpy2.mpz(b2)
 b,xflag = gmpy2.iroot(b2,2)
 assert xflag
 factor_list.append([a + b, a - b])
 if len(factor_list) == 2:
  break
return factor_list

n1 = 6348779979606280884589422188738902470575876294643492831465947360363568026280963989291591157710389629216109615274754718329987990551836115660879103234129921943824061416396264358110216047994331119920503431491509529604742468032906950984256964560405062345280120526771439940278606226153077959057882262745273394986607004406770035459301695806378598890589432538916219821477777021460189140081521779103226953544426441823244765828342973086422949017937701261348963541035128661464068769033772390320426795044617751909787914185985911277628404632533530390761257251552073493697518547350246993679844132297414094727147161169548160586911
factor_list = fermat_factorization(n1)
X1,Y1=factor_list[0]
X2,Y2=factor_list[1]
assert X1*Y1==n1
assert X2*Y2==n1
p=gmpy2.gcd(X1,X2)
q=X1//p
p1=gmpy2.gcd(Y1,Y2)
q1=Y1//p1
print('p=',p)
print('q=',q)
print('p1=',p1)
print('q1=',q1)

运行,成功得到四个质数:

也许其中的数值顺序和原来可能不太一样,不过没关系,我们只要取得结果就可以了。

1633002413_6155a3adc42311d733e38.png!small?1633002413795

接下来就是正常的rsa解密步骤,这里不再累述。

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